平成30年度青森県教員採用試験別解について

平成30年度青森県教員採用試験解答解説

5.座標平面上に点（4.2）を通るとき傾き\(-ｍ（ただしｍ＞0）\)の直線\(ℓ\)があり, 直線\(ℓ\)が\(ｘ\)軸,\(ｙ\)軸と交わる点をそれぞれB,Cとし原点をOとする。次の(1)～(4)に答えなさい。


(1)直線\(ℓ\)の方程式を\(ｍ\)を用いて表しなさい。
\begin{align*} y&=-mx+b \tag{1}\\ \end{align*} \begin{align*} ※点A（4,2）を通るので直線ℓに代入\tag{2}\\ \end{align*} \begin{align*} 2&=-4m+b \tag{3}\\ 4m+2&=b \tag{4}\\ y&=-mx+4m+2 \tag{5}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴y=-mx+4m+2 } \end{align*}
(2)点\(B,C\)の座標を\(ｍ\)を用いて表しなさい。
※座標\(B\)は直線\(ℓ\)と\(ｘ\)軸との交点なので\(ｙ\)の値は\(0\)である。
※座標\(C\)は直線\(ℓ\)と\(ｙ\)軸との交点なので\(ｘ\)の値は\(0\)である。

(1)より,
\begin{align*} y&=-mx+4m+2 \tag{6}\\ 0&=-mx+4m+2 \tag{7}\\ x&=4+\frac{2}{m}　　　　　　 \underline{\large∴座標B \left( 4+\frac{2}{m},0 \right)} \\ y&=-m*0+4m+2 \tag{8}\\ y&=4m+2 　　　　　　 \underline{\large∴座標C \left( 0,4m+2 \right)}\\ \end{align*}
(3)△OBCの面積の最小値およびその時のｍの値を求めなさい。

※△OBCの面積をｍを用いた式で表してみる。
\begin{align*} min&=\frac{1}{2} \left( 4+\frac{2}{m} \right) (4m+2)\tag{9}\\ &=\frac{1}{2} \left( 16m+16+\frac{4}{m} \right)\tag{10}\\ &=8m+8+\frac{2}{m}\tag{11}\\ \end{align*}
一次関数の微分（最小値）
\begin{align*} S&＝8m+8+\frac{2}{m}\tag{12}\\ &=8+\frac{2}{m^2}=0\tag{13}\\ \frac{2}{m^2}&=8\tag{14}\\ m &=\frac{1}{2}\tag{15}\\ S \left( \frac{1}{2} \right)&=16 \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right)^2\tag{16}\\ &=16\tag{17}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴以上より最小値16 \left( m=\frac{1}{2} \right)} \end{align*} (4)原点\(O\)を中心とし点\(A\)を通る円が直線\(ℓ\)と\(2\)点で交わり, その\(2\)つの交点を結ぶ線分の長さが\(2\sqrt{10}\)になるときの\(ｍ\)の値を求めなさい。
解1
\begin{align*} x’＝x\cosθ-y\cosθ\\ y’＝x\cosθ+y\cosθ\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cosθ-\sinθ \\ \sinθ+\cosθ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}
\(90\)度回転をする。 \begin{align*} \begin{pmatrix} \large \cos\frac{π}{2} & \large -\sin\frac{π}{2} \\ \large \sin\frac{π}{2} & \large \cos\frac{π}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \large 4 \\ \large 2 \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \tag{18} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -2\\ 4 \tag{19} \end{pmatrix}\\ D=(-2,4)\\ 傾き-mより、-\frac{2}{6}&=-\frac{1}{3}\tag{20}\\ \underline{\large∴m=\frac{1}{3}} \end{align*} 解2 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \large x^2+y^2=20……① \\ \large (x-4)^2+(y-2)^2=40……② \end{array} \right. \end{eqnarray}
②を展開する \begin{align*} x^2-2x+16+y^2-4y+4&=40\tag{21}\\ -8x-4y+20+20&=40\tag{22}\\ 2x+y&=0 ………②'\tag{23}\\ ②'→y&=-2x ………②"\\ ①より \\ x^2+y^2&=20……①\tag{24} \\ ②"より x^2+(-2x)^2&=20\tag{25} \\ x^2+4x^2&=20\tag{26} \\ 5x^2&=20\tag{27} \\ x^2&=4\tag{28} \\ x&=±2…………③\tag{29} \\ ③を②"に代入\\ y&=-2x\tag{30} \\ &=∓4 つまり \underline{\large∴(2,4)(2,-4)}\\ i) (2,4)(4,2)を結ぶ直線の傾きは正\\ 　　\underline{∴m < 0 ゆえに×}\\ ii) (-2,4)と(4,2)を結ぶ直線の傾き\\ -m&=\frac{2-4}{4-(-2)}\tag{31}\\ &=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\tag{32}\\ 　　　　　\underline{\large∴m=\frac{1}{3}}\\ \end{align*}