平成30年度青森県教員採用試験別解について

平成30年度青森県教員採用試験解答解説

2.図のように\(,xy平面上に3点A_0(0,0),B_0(0,1)C_0(3,0)\)を頂点とする直角三角形がある。 頂点\(A_0\)から辺\(B_0C\)に垂直を引いたときの交点を\(A_1\),点\(B_1\)から\(A_0C\)に 垂線を引いたときの交点を\(A_1\)とする。このように,辺\(A_0C\)上の点\(A_{n-1}\)から 辺\(B_0C\)に垂線を引いたときの交点を\(B_n,B_n\)から辺\(A_0C\)に垂線を引いたときの交点を \(A_n\)とし,\(A_{n-1}A_nB_n\)の面積\(をS_n\)とする。\((1)〜(4)\)に答えなさい。


(1)\(点B₁\)の座標および\(S₁\)を求めなさい。
sample
図の赤の直線を①,青の直線を②とする。
B_0(0,1),C(3,0)より,①の直線が求まる。
②は①と垂直であり,原点を通る。
\begin{eqnarray} ①:y=-\frac{1}{3}x+1 \tag{1}\\ ②:y=3x\tag{2}\\ \end{eqnarray}
①と②の交点がB_1の座標であるので連立方程式を用いる。
②は①と垂直であり,原点を通る。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \large y=-\frac{1}{3}x+1……① \\ \large y=3x…………② \end{array} \right. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} -\frac{1}{3}x+1 &=3x\tag{3}\\ \frac{1}{3}x+3x&=1\tag{4}\\ \frac{10}{3}x&=1\tag{5}\\ \underline{x=\frac{3}{6}}\\ (1)を②に代入\\ y&=3x\tag{6}\\ &=3×\frac{3}{10}\tag{7}\\ &=\frac{9}{10}\tag{8}\\ \end{eqnarray} \begin{align*} \underline{\large B_1の座標\left( \frac{3}{10},\frac{9}{10}\right)} \end{align*}
sample
\begin{align*} B_1 \left( \frac{3}{10},\frac{9}{10} \right) より, A_1 \left( \frac{3}{10},0 \right) 底辺\frac{3}{10},高さ\frac{9}{10}の直角三角形である。\\ \end{align*} \begin{align*} よって、△S_1&=\frac{3}{10}×\frac{9}{10}×\frac{1}{2}\tag{9}\\ &=\frac{27}{200}\tag{10}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴△S_1=\frac{27}{200}} \end{align*}
(2)\(△A_{n-1}A_nB_n\)と\(△B_{n-1}B_nA_{n-1}\)は相似であることを示しなさい。
sample
錯覚より\(∠A_{n-1}\)と\(∠B_n\)は等しい。よって次のことがいえる。
sample
\begin{align*} ∠B_{n-1}A_{n-1}B_n&＝∠A_{n-1}B_nB_{n-1}（錯覚より）……①\\ ∠B_{n-1}B_nA_{n-1}&＝∠A_{n-1}B_{n-1}B_n（90°より）……②\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{∴1,2より,△A_n-1A_nB_nと △B_{n-1}B_nA_{n-1}は相似である。} \end{align*}
(3)無限級数\(S_1+S_2+S_3+……\)の和を求めなさい。
sample
\begin{align*} 傾きがｍで,(x_o,y_o)を通る直線の方程式\\ y-y_o=m(x-x_o)\\ \end{align*}

\begin{eqnarray} B_2の座標を(x_2,y_2)とする。\\ A_1とB_2を通る直線を②´とするとき,\\ ②´はy=-\frac{1}{3}x+1と垂直な直線である。\\ 傾き3, \left( \frac{3}{10},0 \right) を通ることが分かる。\\ 更に②´のy軸との交点(切片)は \left( -\frac{9}{10} \right) である。\\ 以上より②´:y=3x-\frac{9}{10}\\ B_2の座標(x_2,y_2)は①と②´の交点なので連立方程式を解く。\\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \large y=-\frac{1}{3}x+1……① \\ \large y=3x-\frac{9}{10}………② \end{array} \right. \end{eqnarray} \begin{align*} -\frac{1}{3}x+1&=3x-\frac{9}{10}\tag{11}\\ -\frac{1}{3}x-3x&=-1-\frac{9}{10}\tag{12}\\ \frac{10}{3}x&=\frac{19}{10}\tag{13}\\ x&=\frac{19}{10}×\frac{3}{10}\tag{14}\\ x_2&=\frac{57}{100}………③\tag{15}\\ ③を②に代入\\ y&=3×\frac{57}{100}-\frac{9}{10}\tag{16}\\ &=\frac{171}{100}-\frac{9}{10}\tag{17}\\ y_2&=\frac{81}{100}\tag{18}\\ \underline{B_2の座標 \left( \frac{57}{100},\frac{81}{100} \right)} \end{align*} \begin{align*} x_2-x_1= \frac{57}{100}-\frac{30}{100}=\frac{27}{100}=\frac{3^3}{10^2}(S_2の底辺)\tag{19}\\ S_1+S_2+S_3+……\tag{20}\\ =S_1(1+(\frac{9}{10})^2+(\frac{9}{10})^4+……)\tag{21}\\ =\frac{27}{200}(1+(\frac{9}{10})^2+(\frac{9}{10})^4+……)\tag{22}\\ =\frac{27}{200}×\frac{100}{19}=\frac{27}{38}\tag{23} \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴\frac{27}{38}} \end{align*}
(4)点\(A_n\)と点\(Ｃ\)の距離が\(0.1\)より小さくなる時の最小の\\ 自然数\(n\)を求めなさい。ただし必要があれば、\(\log_a x=0.4771\)として計算しなさい。 \begin{align*} 3×\frac{9}{10}&<\frac{1}{10}\tag{24}\\ \frac{(3×(3)^2n)}{10^n}\tag{25}\\ 3^{2n+1}< 10^{n-1}\tag{26}\\ \log_{10} 3^{2n+1}<\log_{10} 10^{n-1}\tag{27}\\ (2n+1)(0.4771)< n-1\tag{28}\\ 0.9542n+0.4771< n-1\tag{29}\\ 1.4771< 0.0458n\tag{30}\\ n>\frac{1.4771}{0.0458}=32.25\tag{31}\\ n≧33\tag{32} \end{align*} \begin{align*} \underline{\large ∴n≧33} \end{align*}