平成30年度青森県教員採用試験別解について

平成30年度青森県教員採用試験解答解説

1.関数\(f(x)=x^4-4x^3+(6a+4)x^2-12ax+2(aは実数の定数)\)について,\(次の(1)〜(3)\)に答えなさい。

(1)\(t=x^2-2x\)とするとき,\(f(x)\)を\(a\)と\(t\)を用いて表しなさい。
解. \begin{align*} 　f(x) & = x^4-4x^3+(6a+4)x^2-12ax+2 \tag{1}\\ 　 & = x^4-4x^3+6ax^2+4x^2-12ax+2\tag{2}\\ & = x^4-4x^3+4x^2+6a(x^2-2x)+2\tag{3}\\ &=(x^2-2x)^2+6a(x^2-2x)+2\tag{4}\\ &=t^2+6at+2\tag{5} \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴t=t^2+6at+2} \\ \end{align*}

(2)\(t=x^2-2x\)のとり得る値の範囲を求めなさい。
※「問題文のとり得る値の範囲とは、\(t\)についての範囲を求めなさいということ！」
解. \begin{align*} t &= x^2-2x (←平方完成)\tag{6}\\ &=(x-1)^2-1(平方完成　終)\tag{7}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴tは(1,-1)の時に最少となる。よって、t≧-1} \\ \end{align*} sample

\((3)(f(x)の最小値とそのときのxの値をaを用いて表しなさい。\)
解. \begin{align*} 　 f(x)&=t^2+6at+2 (←平方完成)\tag{8}\\ &=(t+3a)^2-9a^2+2(平方完成　終)\tag{9}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{軸t=-3a　頂点(-3a,-9a^2+2) 　(t≧-1)} \end{align*}

※\(「-3aが-1より''正''か''負''か考える！」\)

\begin{align*} 　( i )-3a< -1のとき、つまり3a>1→a>\frac{1}{3}のとき\\ t=-1で最小をとる　A.最小値 6a+2(t=-1)\\ t=-1をt=x^2-2xに代入\\ \end{align*} \begin{align*} -1&=x^2-2x\tag{10}\\ x^2-2x+1&=0\tag{11}\\ (x-1)^2&=0\tag{12}\\ 　　　　\underline{\Large∴x=1} \\ \end{align*} \begin{align*} ( ii )-3a≧-1のとき、つまり3a≦1→a≦\frac{1}{3}のとき\\ t=-3aで最小をとる A.最小値 -9a^2+2(t=-3a)\\ t=-3aをt=x^2-2xに代入\\ \end{align*} \begin{align*} -3a&=x^2-2x\tag{13}\\ x^2-2x+3a&=0\tag{14}\\ \end{align*}

※解の公式
2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解の公式は \begin{eqnarray} x =\large\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray}

\begin{align*} x^2-2x+3a&=0 の式を解の公式に代入する。\\ x&=\frac{-(-2)±\sqrt{(-2)^2-2^2×(3a)}}{2}\tag{15}\\ &=\frac{2±\sqrt{2^2(1-3a)}}{2}\tag{16}\\ &=\frac{2±2\sqrt{1-3a}}{2}\tag{17}\\ &=1±\sqrt{1-3a}\tag{18}\\ \end{align*} \begin{align*} 　　　　\underline{\Large∴x=1±\sqrt{1-3a}} \\ \end{align*}
最小値のグラフ sample