平成30年度青森県教員採用試験別解について

平成30年度青森県教員採用試験解答解説

４.図のような\(1\)辺の長さが\(a\)の正四面体\(ABCD\)の体積を\(V\),表面積を\(S\)とする。 次の(1)〜(3)に答えなさい。


sample

(1)体積\(V\)を求めなさい。

解.
sample sample sample sample sample
頂点\(A\)から\(△BCD\)に垂線\(AH\)を下ろすと点\(H\)は\(△BCD\)の重心と一致する。
「三角形の重心の特徴」
sample
三角形の頂点と，その対辺の中点を結ぶ\(3\)つの線は\(1\)点で交わり, その点は各中点を\(2:1\)に内分する。 頂点とその対辺の中点を結ぶことを中線といい, この点のことを三角形の重心という。
\(△BCD\)より
\begin{align*} CM&=DM=\frac{1}{2}\\ BM&=\frac{\sqrt{3}}{2}a （三平方の定理)\\ \end{align*} ※　三平方の定理
\(30°,60°,90°\)の直角三角形になるので
\(1:2:\sqrt{3}\)
 \begin{align*} BH:BM&=2:1 （三角形の重心の定理）\\ \end{align*} ※　三角形の重心の定理
三角形の３つの中線は\(1\)点で交わり、その交点は中線を　\(2:1\)の比に分ける。
 \begin{align*} BH&=BM×\frac{2}{3}\tag{1}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{2}{3}\tag{2}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{3}a\tag{3}\\ \end{align*} よって高さ\(AH\)は\(△ABH\)について三平方の定理より
※　三平方の定理
\(c^2=a^2+b^2\)
 \begin{align*} AH^2&=a^2- \left( \frac{\sqrt{3}}{3}a^2 \right) ^2\tag{4}\\ &=a^2-\frac{1}{3}a^2\tag{5}\\ &=\frac{2}{3}a^2\tag{6}\\ AH&=\frac{\sqrt{6}}{3}a\tag{7}\\ \end{align*} 正四面体の体積=底面積×高さ×\(\large\frac{1}{3}\)
\begin{align*} V&= \left( a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2} \right) ×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{1}{3}\tag{8}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\tag{9} \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3} \\ \end{align*}

別解.
sample
1辺がaの正四面体の体積は１辺が\(\frac{\sqrt{a}}{2}\)である立方体から「縦,横,高さが全て\(\large\frac{\sqrt{a}}{2}\)である直角三角錐」を4つ引いたものなので
\begin{align*} V&= \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) ^3-4×\frac{a}{\sqrt{2}}×\frac{a} {\sqrt{2}}×\frac{1}{2}×\frac{a}{\sqrt{2}}×\frac{1}{3}\tag{10}\\ &=\frac{a^3}{2\sqrt{2}}-\frac{a^3}{3\sqrt{2}}\tag{11}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{4}a^3-\frac{\sqrt{2}}{6}a^3\tag{12}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\tag{13}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3} \\ \end{align*}
また、体積が求められれば高さも求められる。正四面体の底面積は \(a×\large\frac{\sqrt{3}}{2}a×\large\frac{1}{2}\)=\(\large\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)なので \begin{align*} \frac{\sqrt{2}}{12}a^3&=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2×h×\frac{1}{3}\tag{14}\\ h&=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3×\frac{4}{\sqrt{3}a^2}×3\tag{15}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a\tag{16}\\ &=\frac{\sqrt{6}}{3}a\tag{17}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large h=\frac{\sqrt{6}}{3}a}\\ \end{align*}

(2)図の正四面体に内接する球の半径を\(r\)とするとき, \(\large\frac{1}{3}rS\)が成り立つことを示しなさい。

解.
正四面体\(ABCD\)に内接する円の中点を\(O\)とする。
正四面体\(ABCD\)は点\(O\)を頂点として,\(△ABC,△ACD,△ABD,△BCD\)を底面とする \(4\)つの合同な三角錐に分けられる。
sample
\(4\)つの三角錐の高さは全て\(r\)なので
\begin{align*} V&=(△ABC+△ACD+△ABD+△BCD)×r×\frac{1}{3}\\ &=\frac{1}{3}rS\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴V=\frac{1}{3}rS} \\ \end{align*}

(3)図の正四面体に内接する球の半径\(r\)と体積\(V'\)を求めなさい。

解. \begin{align*} S&=(△ABC+△ACD+△ABD+△BCD)\tag{18}\\ &=4×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}\tag{19}\\ &=\sqrt{3}a^2\tag{20}\\ \end{align*}
(1),(2)より\(V=\large\frac{1}{3}rS\)だから
\begin{align*} \frac{\sqrt{2}}{12}a^3&=\frac{1}{3}r×\sqrt{3}a^2\tag{21}\\ \frac{1}{3}r&=\frac{1}{\sqrt{3}a^2}×\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\tag{22}\\ r&=\frac{\sqrt{6}}{12}a\tag{23}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴r=\frac{\sqrt{6}}{12}a} \\ \end{align*} \begin{align*} V'&=\frac{4}{3}{\pi}r^3\tag{24}\\ &=\frac{4}{3}{\pi}× \left( \frac{\sqrt{6}}{12}a \right) ^3\tag{25}\\ &=\frac{4}{3}{\pi}×\frac{6\sqrt{6}}{1728}a^3\tag{26}\\ &=\frac{4}{3}{\pi}×\frac{\sqrt{6}}{288}a^3\tag{27}\\ &=\frac{\sqrt{6}}{216}{\pi}a^3\tag{28}\\ \end{align*} \begin{align*} \underline{\large∴V'=\frac{\sqrt{6}}{216}{\pi}a^3} \\ \end{align*}