平成30年度青森県教員採用試験別解について

４.図のような

$1$ 辺の長さが

$a$ の正四面体

$ABCD$ の体積を

$V$ ,表面積を

$S$ とする。次の(1)〜(3)に答えなさい。

頂点

$A$ から

$△BCD$ に垂線

$AH$ を下ろすと点

$H$ は

$△BCD$ の重心と一致する。

「三角形の重心の特徴」

三角形の頂点と，その対辺の中点を結ぶ

$3$ つの線は

$1$ 点で交わり, その点は各中点を $2:1$ に内分する。 頂点とその対辺の中点を結ぶことを中線といい, この点のことを三角形の重心という。

$△BCD$ より

$\begin{align*} CM&=DM=\frac{1}{2}\\ BM&=\frac{\sqrt{3}}{2}a （三平方の定理)\\ \end{align*}$ ※　三平方の定理
$30°,60°,90°$ の直角三角形になるので
$1:2:\sqrt{3}$

$\begin{align*} BH:BM&=2:1 （三角形の重心の定理）\\ \end{align*}$ ※　三角形の重心の定理
三角形の３つの中線は $1$ 点で交わり、その交点は中線を　 $2:1$ の比に分ける。

$\begin{align*} BH&=BM×\frac{2}{3}\tag{1}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{2}{3}\tag{2}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{3}a\tag{3}\\ \end{align*}$ よって高さ

$AH$ は

$△ABH$ について三平方の定理より
※　三平方の定理
$c^2=a^2+b^2$

$\begin{align*} AH^2&=a^2- \left( \frac{\sqrt{3}}{3}a^2 \right) ^2\tag{4}\\ &=a^2-\frac{1}{3}a^2\tag{5}\\ &=\frac{2}{3}a^2\tag{6}\\ AH&=\frac{\sqrt{6}}{3}a\tag{7}\\ \end{align*}$ 正四面体の体積=底面積×高さ×

$\large\frac{1}{3}$

$\begin{align*} V&= \left( a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2} \right) ×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{1}{3}\tag{8}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\tag{9} \end{align*}$

$\begin{align*} \underline{\large∴V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3} \\ \end{align*}$

別解.

1辺がaの正四面体の体積は１辺が

$\frac{\sqrt{a}}{2}$ である立方体から「縦,横,高さが全て

$\large\frac{\sqrt{a}}{2}$ である直角三角錐」を4つ引いたものなので

$\begin{align*} V&= \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) ^3-4×\frac{a}{\sqrt{2}}×\frac{a} {\sqrt{2}}×\frac{1}{2}×\frac{a}{\sqrt{2}}×\frac{1}{3}\tag{10}\\ &=\frac{a^3}{2\sqrt{2}}-\frac{a^3}{3\sqrt{2}}\tag{11}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{4}a^3-\frac{\sqrt{2}}{6}a^3\tag{12}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\tag{13}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \underline{\large∴V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3} \\ \end{align*}$ また、体積が求められれば高さも求められる。正四面体の底面積は

$a×\large\frac{\sqrt{3}}{2}a×\large\frac{1}{2}$ =

$\large\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ なので

$\begin{align*} \frac{\sqrt{2}}{12}a^3&=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2×h×\frac{1}{3}\tag{14}\\ h&=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3×\frac{4}{\sqrt{3}a^2}×3\tag{15}\\ &=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a\tag{16}\\ &=\frac{\sqrt{6}}{3}a\tag{17}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \underline{\large h=\frac{\sqrt{6}}{3}a}\\ \end{align*}$

(2)図の正四面体に内接する球の半径を

$r$ とするとき,

$\large\frac{1}{3}rS$ が成り立つことを示しなさい。

解. 正四面体

$ABCD$ に内接する円の中点を

$O$ とする。
正四面体

$ABCD$ は点

$O$ を頂点として,

$△ABC,△ACD,△ABD,△BCD$ を底面とする

$4$ つの合同な三角錐に分けられる。
sample

$4$ つの三角錐の高さは全て

$r$ なので

$\begin{align*} V&=(△ABC+△ACD+△ABD+△BCD)×r×\frac{1}{3}\\ &=\frac{1}{3}rS\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \underline{\large∴V=\frac{1}{3}rS} \\ \end{align*}$

(3)図の正四面体に内接する球の半径

$r$ と体積

$V'$ を求めなさい。

解.

$\begin{align*} S&=(△ABC+△ACD+△ABD+△BCD)\tag{18}\\ &=4×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}\tag{19}\\ &=\sqrt{3}a^2\tag{20}\\ \end{align*}$ (1),(2)より

$V=\large\frac{1}{3}rS$ だから

$\begin{align*} \frac{\sqrt{2}}{12}a^3&=\frac{1}{3}r×\sqrt{3}a^2\tag{21}\\ \frac{1}{3}r&=\frac{1}{\sqrt{3}a^2}×\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\tag{22}\\ r&=\frac{\sqrt{6}}{12}a\tag{23}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \underline{\large∴r=\frac{\sqrt{6}}{12}a} \\ \end{align*}$

$\begin{align*} V'&=\frac{4}{3}{\pi}r^3\tag{24}\\ &=\frac{4}{3}{\pi}× \left( \frac{\sqrt{6}}{12}a \right) ^3\tag{25}\\ &=\frac{4}{3}{\pi}×\frac{6\sqrt{6}}{1728}a^3\tag{26}\\ &=\frac{4}{3}{\pi}×\frac{\sqrt{6}}{288}a^3\tag{27}\\ &=\frac{\sqrt{6}}{216}{\pi}a^3\tag{28}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \underline{\large∴V'=\frac{\sqrt{6}}{216}{\pi}a^3} \\ \end{align*}$

平成30年度青森県教員採用試験解答解説

４.図のような11辺の長さがaaの正四面体ABCDABCDの体積をVV,表面積をSSとする。 次の(1)〜(3)に答えなさい。

４.図のような $1$ 辺の長さが $a$ の正四面体 $ABCD$ の体積を $V$ ,表面積を $S$ とする。次の(1)〜(3)に答えなさい。